自然语言处理之LDA

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LDA由PLSA发展而来，PLSA由LSA发展而来，同样用于隐含语义分析，这里先给出两篇实现LSA和PLSA的文章链接。
自然语言处理之LSA
自然语言处理之PLSA

我们知道，PLSA也定义了一个概率图模型，假设了数据的生成过程，但是不是一个完全的生成过程：没有给出先验。因此PLSA给出的是一个最大似然估计(ML)或者最大后验估计(MAP)。
LDA拓展了PLSA，定义了先验，因此LDA给出的是一个完整的贝叶斯估计。

符号

这里先给出本文公式中以及python代码中使用到的符号及其含义。关于编号，公式中从1开始编号，代码中从0开始编号，只是为了方便。

公式中的符号 描述 代码中的符号 描述
$N$ 文档总数 N
$N_i$ 第i篇文档单词数
$K$ topic总数 K
$M$ 词表长度 M
$d$ 文档编号，是一个整数 d
$z$ topic编号，是一个整数 z
$w$ 单词编号，是一个整数 w
$\vec{\alpha}$ document-topic分布的超参数，是一个K维向量 alpha 是一个标量，$\vec{\alpha}$的每一维都是alpha
$\vec{\beta}$ topic-word分布的超参数，是一个M维向量 beta 是一个标量，$\vec{\beta}$的每一维都是beta
$\vec{\theta_i}$ $p(z{\vert}d=i)$组成的K维向量，其中$z\in[1,K]$
$\Theta$ $\Theta=\lbrace\vec{\theta_i}\rbrace^{N}_{i=1}$
$\vec{\varphi_k}$ $p(w{\vert}z=k)$组成的M维向量，其中$w\in[1,M]$
$\Phi$ $\Phi=\lbrace\vec{\varphi_k}\rbrace^{K}_{k=1}$
$z_{i,j}$ 第i篇文档的第j个单词的topic编号 Z[i,j] Z是一个元素为list的list
$w_{i,j}$ 第i篇文档的第j个单词在词表中的编号 docs[i,j] docs是一个元素为list的list
$l$ 二维下标(i,j),对应第i篇文档的第j个单词
$\urcorner{l}$ 下标包含这一项表示将第i篇文档的第j个单词排除在外
$n_{iz}$ 第i篇文档中由z这个topic产生的单词计数 ndz[i,z] ndz是一个二维矩阵，ndz[i,z]等于$n_{iz}$加上伪计数alpha
$n_{i}$ 第i篇文档由每个topic产生的单词计数组成的向量
$n_{zw}$ 第z个topic产生单词w的计数 nzw[z,w] nzw是一个二维矩阵，nzw[z,w]等于$n_{zw}$加上伪计数beta
$n_{z}$ 第z个topic产生全部单词的计数 nz[z] nz是一个一维矩阵，nz[z]等于$n_{z}$加上M倍的beta

概率图模型

LDA的概率图模型见下图。箭头定义了随机变量间的关系。每个方框定义了每个过程，方框右下角的变量是该过程的重复次数。
graphical-model

生成过程

LDA认为数据的生成过程如下图。
generate-process
由该生成过程以及dirichlet-multinomial共轭可得：
$$
p(\vec{z}|\vec{\alpha})=\prod^{N}_{i=1}\frac{\Delta(\vec{n_i}+\vec{\alpha})}{\Delta(\vec{\alpha})}
$$
$$
p(\vec{w}|\vec{z},\vec{\beta})=\prod^{K}_{z=1}\frac{\Delta(\vec{n_z}+\vec{\beta})}{\Delta(\vec{\beta})}
$$
$$
\begin{aligned}
p(\vec{w},\vec{z}|\vec{\alpha},\vec{\beta})&=p(\vec{w}|\vec{z},\vec{\beta})p(\vec{z}|\vec{\alpha}) \\
&=\prod^{K}_{z=1}\frac{\Delta(\vec{n_z}+\vec{\beta})}{\Delta(\vec{\beta})}\prod^{N}_{i=1}\frac{\Delta(\vec{n_i}+\vec{\alpha})}{\Delta(\vec{\alpha})}
\end{aligned}
$$
从而得到了联合概率分布 $p(\vec{w},\vec{z})$。

似然性

根据上面的概率图模型，可以得出第i篇文档的complete-data似然性为：
$$
p(\vec{w_i},\vec{z_i},\vec{\theta_{i}},\Phi|\vec{\alpha},\vec{\beta})=\prod^{N_i}_{j=1}p(w_{i,j}|\vec{\varphi_{z_{i,j}}})p(z_{i,j}|\vec{\theta_i}){\cdot}p(\vec{\theta_i}|\vec{\alpha}){\cdot}p(\Phi|\vec{\beta})
$$
第i篇文档第j个单词在词表中编号为w的概率为：
$$
p(w_{i,j}=w|\vec{\theta_i},\Phi)=\sum^{K}_{k=1}p(w_{i,j}=w|\vec{\varphi_k})p(z_{i,j}=k|\vec{\theta_i})
$$
整个数据集的似然性为：
$$
p(\mathcal{D}|\Theta,\Phi)=\prod^{N}_{i=1}p(\vec{w_i}|\vec{\theta_i},\Phi)=\prod^{N}_{i=1}\prod^{N_i}_{j=1}p(w_{i,j}|\vec{\theta_i},\Phi)
$$
那么接下来怎么办呢？我们回忆一下在PLSA中是怎么做的。
PLSA中的概率图模型由于没有先验，模型比LDA简单一些，认为文档决定topic，topic决定单词，写出了整个数据集的对数似然性，然后由于要求解的参数以求和的形式出现在了对数函数中，无法通过直接求导使用梯度下降或牛顿法来使得这个对数似然最大，因此使用了EM算法。
LDA同样可以使用EM算法求解参数，但需要在E步计算隐变量的后验概率时使用变分推断进行近似，一种更简单的方法是使用gibbs sampling。

gibbs sampling

根据生成过程已经得到了联合概率分布 $p(\vec{w},\vec{z})$。由于每个文档中的单词 $\vec{w}$ 是可以观测到的已知数据，我们需要采样的分布是 $p(\vec{z}|\vec{w})$。
下面推导gibbs sampling采样 $p(\vec{z}|\vec{w})$ 分布的公式。

$$
\begin{aligned}
p(z_l=z|\vec{z_{\urcorner{l}}},\vec{w})&=\frac{p(\vec{w},\vec{z})}{p(\vec{w},\vec{z_{\urcorner{l}}})} \\
&=\frac{p(\vec{w}|\vec{z})p(\vec{z})}{p(\vec{w_{\urcorner{l}}}|\vec{z_{\urcorner{l}}})p(w_l)p(\vec{z_{\urcorner{l}}})} \\
&\propto{\frac{p(\vec{w}|\vec{z})p(\vec{z})}{p(\vec{w_{\urcorner{l}}}|\vec{z_{\urcorner{l}}})p(\vec{z_{\urcorner{l}}})}} \\
&=\frac{\Delta(\vec{n_i}+\vec{\alpha})}{\Delta(\vec{n_{i,\urcorner{l}}}+\vec{\alpha})}\cdot\frac{\Delta(\vec{n_z}+\vec{\beta})}{\Delta(\vec{n_{z,\urcorner{l}}}+\vec{\beta})} \\
&=\frac{\Gamma(n_{iz}+\alpha_{z})\Gamma(\sum^{K}_{z=1}(n_{iz,\urcorner{l}}+\alpha_{z}))}{\Gamma(n_{iz,\urcorner{l}}+\alpha_{z})\Gamma(\sum^{K}_{z=1}(n_{iz}+\alpha_{z}))}\cdot\frac{\Gamma(n_{zw}+\beta_{w})\Gamma(\sum^{M}_{w=1}(n_{zw,\urcorner{l}}+\beta_{w}))}{\Gamma(n_{zw,\urcorner{l}}+\beta_{w})\Gamma(\sum^{M}_{w=1}(n_{zw}+\beta_{w}))} \\
&=\frac{n_{iz,\urcorner{l}}+\alpha_{z}}{\sum^{K}_{z=1}(n_{iz,\urcorner{l}}+\alpha_{z})}\cdot\frac{n_{zw,\urcorner{l}}+\beta_{w}}{\sum^{M}_{w=1}(n_{zw,\urcorner{l}}+\beta_{w})} \\
&\propto{\frac{n_{zw,\urcorner{l}}+\beta_{w}}{\sum^{M}_{w=1}(n_{zw,\urcorner{l}}+\beta_{w})}\cdot(n_{iz,\urcorner{l}}+\alpha_{z})} \\
&=\frac{nzw[z,w]}{nz[z]}\cdot(ndz[i,z])
\end{aligned}
$$

下面解释一下这个推导过程，前两个等号是利用了贝叶斯公式，第三步的正比于符号这一行是去掉了一项常数 $p(w_l)$,第四步利用了前面计算好的 $p(\vec{w},\vec{z})$ 联合概率公式，第五、六步是将函数展开并化简，第七步的正比于符号是去掉了一项不依赖于z的项（即z取何值该项都相同），最后一行给出了对应代码中的表达。
这样我们就得到了吉布斯采样公式，每一轮gibbs sampling的迭代中依次遍历每个二维下标 $l$, 即遍历每篇文档的每一个单词，重新采样这个下标对应的topic编号。

LDA的实现

用python编写了一个使用gibbs sampling实现的LDA。数据集放在文件dataset.txt中，一行表示一篇文档，只需使用原始数据即可，可处理中文和英文。
采用了jieba分词工具，停止词使用英文停止词、中文停止词、标点符号以及所有日文字符。
下面给出代码。

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# 预处理(分词，去停用词，为每个word赋予一个编号，文档使用word编号的列表表示)
def preprocessing(filename):
    # 读取停止词文件
    file = codecs.open('stopwords.dic','r','utf-8')
    stopwords = [line.strip() for line in file] 
    file.close()
    
    # 读数据集
    file = codecs.open('dataset.txt','r','utf-8')
    documents = [document.strip() for document in file] 
    file.close()
    
    word2id = {}
    id2word = {}
    docs = []
    currentDocument = []
    currentWordId = 0
    
    for document in documents:
        # 分词
        segList = jieba.cut(document)
        for word in segList: 
            word = word.lower().strip()
            # 单词长度大于1并且不包含数字并且不是停止词
            if len(word) > 1 and not re.search('[0-9]', word) and word not in stopwords:
                if word in word2id:
                    currentDocument.append(word2id[word])
                else:
                    currentDocument.append(currentWordId)
                    word2id[word] = currentWordId
                    id2word[currentWordId] = word
                    currentWordId += 1
        docs.append(currentDocument);
        currentDocument = []
    return docs, word2id, id2word
    
# 初始化，按照每个topic概率都相等的multinomial分布采样，等价于取随机数，并更新采样出的topic的相关计数
def randomInitialize():
	for d, doc in enumerate(docs):
		zCurrentDoc = []
		for w in doc:
			pz = np.divide(np.multiply(ndz[d, :], nzw[:, w]), nz)
			z = np.random.multinomial(1, pz / pz.sum()).argmax()
			zCurrentDoc.append(z)
			ndz[d, z] += 1
			nzw[z, w] += 1
			nz[z] += 1
		Z.append(zCurrentDoc)

# gibbs采样
def gibbsSampling():
	# 为每个文档中的每个单词重新采样topic
	for d, doc in enumerate(docs):
		for index, w in enumerate(doc):
			z = Z[d][index]
			# 将当前文档当前单词原topic相关计数减去1
			ndz[d, z] -= 1
			nzw[z, w] -= 1
			nz[z] -= 1
			# 重新计算当前文档当前单词属于每个topic的概率
			pz = np.divide(np.multiply(ndz[d, :], nzw[:, w]), nz)
			# 按照计算出的分布进行采样
			z = np.random.multinomial(1, pz / pz.sum()).argmax()
			Z[d][index] = z 
			# 将当前文档当前单词新采样的topic相关计数加上1
			ndz[d, z] += 1
			nzw[z, w] += 1
			nz[z] += 1

alpha = 5
beta = 0.1	
iterationNum = 50
K = 10
# 预处理
docs, word2id, id2word = preprocessing("data.txt")
Z = []
N = len(docs)
M = len(word2id)
# ndz[d,z]表示文档d中由topic z产生的单词计数加伪计数alpha
ndz = np.zeros([N, K]) + alpha
# nzw[z,w]表示topic z产生的单词w的计数加伪计数beta
nzw = np.zeros([K, M]) + beta
# nz[z]表示topic z产生的所有单词的总计数加伪计数
nz = np.zeros([K]) + M * beta
# 初始化
randomInitialize()
# gibbs sampling
for i in range(0, iterationNum):
	gibbsSampling()
# 产生每个topic的top10的词
topicwords = []
maxTopicWordsNum = 10
for z in range(0, K):
	ids = nzw[z, :].argsort()
	topicword = []
	for j in ids:
		topicword.insert(0, id2word[j])
	topicwords.append(topicword[0 : min(10, len(topicword))])

实验结果

实验部分，使用两个数据集进行测试，第一个数据集是PLSA实验中使用的第二个关于one piece的16个英文文档，来源于维基百科，其中包含日文字符，因此停止词中加入了日语字符，第二个数据集是5000篇新浪社会新闻，是中文文档。
第一个英文数据集的部分截图如下。
dataset1
设置的参数为K=10，iterationNum=50。
实验结果如下图。给出了每个主题top10的词语。
res1
第二个中文数据集的部分截图如下。
dataset2
参数设置为K=10，iterationNum=50：
res2
主题0关于犯罪，主题8关于法院，主题2关于医疗，主题3关于交通事故，主题4关于学校，主题7是一些称谓，主题6关于社区。
参数设置为K=30，iterationNum=50:
res3
可以看到，当topic数设置大一些，得到的主题将变得更为具体一些。由于停止词表的选用问题，有些停止词没有被过滤掉，比如一种，一只等数量词，完善停止词表可以让结果更好。

参考资料

1 Parameter estimation for text analysis by Gregor Heinrich
2 Latent Dirichlet Allocation by David M. Blei et al.
3 LDA数学八卦 by Rickjin

完整代码、停用词以及数据集已托管至 github